martes, 9 de octubre de 2012

PRENSA HIDRÁULICA CASERA

VER COMO SE PUEDE FABRICAR UNA PRENSA HIDRÁULICA CASERA DE UNA MANERA MUY FÁCIL EN EL SIGUIENTE ENLACE: http://www.youtube.com/watch?v=pQOr04xET0I

martes, 2 de octubre de 2012

martes, 25 de septiembre de 2012

EJERCICIOS DE PRENSA HIDRÁULICA CON LAS SOLUCIONES.

martes, 18 de septiembre de 2012

Prensa hidráulica

De Wikipedia, la enciclopedia libre

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Una prensa hidráulica es un mecanismo conformado por vasos comunicantes impulsados por pistones de diferente área que, mediante pequeñas fuerzas, permite obtener otras mayores. Los pistones son llamados pistones de agua, ya que son hidráulicos. Estos hacen funcionar conjuntamente a las prensas hidráulicas por medio de motores 2.1.

Antigua prensa hidráulica.

En el siglo XVII, en Francia, el matemático y filósofo Blaise Pascal comenzó una investigación referente al principio mediante el cual la presión aplicada a un líquido contenido en un recipiente se transmite con la misma intensidad en todas direcciones. Gracias a este principio se pueden obtener fuerzas muy grandes utilizando otras relativamente pequeñas. Uno de los aparatos más comunes para alcanzar lo anteriormente mencionado es la prensa hidráulica, la cual está basada en el principio de Pascal.
El rendimiento de la prensa hidráulica guarda similitudes con el de la palanca, pues se obtienen presiones mayores que las ejercidas pero se aminora la velocidad y la longitud de desplazamiento, en similar proporción.

[editar] Cálculo de la relación de fuerzas.

Cuando se aplica una fuerza $F_1 \,$ sobre el émbolo de menor área $A_1 \,$ se genera una presión $p_1 \,$ :

Esquema de fuerzas y áreas de una prensa hidráulica.

$p_1=\frac{F_1}{A_1} \,$

Del mismo modo en el segundo émbolo:

$p_2=\frac{F_2}{A_2} \,$

Se observa que el líquido esta comunicado, luego por el principio de Pascal, la presión en los dos pistones es la misma, por tanto se cumple que:

$p_1=p_2 \,$

Esto es:

$\frac{F_1}{A_1}=\frac{F_2}{A_2} \,$ y la relación de fuerzas: $\frac{F_1}{F_2}=\frac{A_1}{A_2} \,$

Luego la fuerza resultante de la prensa hidráulica es:

$F_2=F_1\frac{A_2}{A_1}$

Donde: $F_1 \,$ = fuerza del émbolo menor en N, D, KgF gF $F_2 \,$ = fuerza del émbolo mayor en N, D, KgF gF $A_1 \,$ = área del émbolo menor en m2 cm2 in2 $A_2 \,$ = área del émbolo mayor en m2 cm2 in2

martes, 11 de septiembre de 2012

HIDRÁULICA

Hidráulica.

Conceptualmente la hidrálica se puede definir de varias maneras, siempre dependiendo del contexto en que la usemos. Si la empleamos dentro del contexto de la mecánica de los fluidos, podemos decir que la hidráulica es la parte de la física que estudia el comportamiento de los fluidos. La palabra hidráulica proviene del griego, Hydor, y trata de las leyes que están en relación con el agua.
Cuando tratamos de un fluido como el aceite deberiamos hablar de oleohidráulica, pero no es así, normalmente empleamos el vocablo hidráulica para definir a una tecnología de ámbito industrial que emplea el aceite como fluido y energía, y que está en estrecha relación, con las leyes de la mecánica de los fluidos.
Por si fuera poca la confusión, además, tenemos dos vocablos más, hidrostática e hidrodinámica. La hidrostática trata sobre las leyes que rigen a los fluidos en su estado de reposo. La hidrodinámica trata sobre las leyes que rigen sobre los fluidos en movimiento. Los dos vocablos se engloban dentro de la materia de la mecánica de los fluidos. Éstos dos vocablos también se utilizan en neumática para explicar el comportamiento del aire comprimido.

Características de la hidráulica.

Como todo, la hidráulica tiene sus ventajas y sus inconvenientes, su lado positivo y su lado negativo. Respecto a lo positivo podemos decir que la hidráulica al utilizar aceites es autolubricante, el posicionamiento de sus elementos mecánicos es ajustado y preciso,a causa de la incomprensibilidad del aceite el movimiento es bastante uniforme, transmite la presión más rápido que el aire comprimido, puede producir más presión que el aire comprimido.Éstas serían las características positivas más relevantes.
Entre las negativas tenemos que destacar su suciedad, es inflamable y explosiva, es sensible a la contaminación y a las temperaturas, sus elementos mecánicos son costosos, el aceite envejece o sufre desgaste, tiene problemas de cavitación o entrada de aire, puede sufrir bloqueo.

Uso de la tecnología hidráulica.

El uso de la tecnología hidráulica es muy variado, no solamente la podemos encontrar en el ámbito industrial sino también en otros ámbitos, incluso relacionados con la vida diaria.
Se emplea en la construcción, sobretodo relacionado con lo fluvial, ya sean compuertas, presas, puentes, turbinas, etc.
También se utiliza en automóviles (pequeños cilindros para levantar el capó, etc), grúas, maquinaria de la construcción y de la pavimentación, en trenes de aterrizaje de aviones, en timones de barcos y aviones, etc. Ésto solo son algunos ejemplos, pero la realidad es que la tecnología hidráulica es muy utilizada.

LEY DE PASCAL

PRESIÓN

Definición: Presión es la fuerza normal por unidad de área, y está dada por:

Donde P es la fuerza de presión, F es la fuerza normal es decir perpendicular a la superficie y A es el área donde se aplica la fuerza.

Las unidades de presión son:

En el Sistema Internacional de unidades (S.I.) la unidad de presión es el pascal que equivale a la fuerza normal de un newton cuando se aplica en un área de metro cuadrado. 1pascal = 1N/m 2 y un múltiplo muy usual es el kilopascal (Kpa.) que equivale a 100 N/m 2 o 1000 pascales y su equivalente en el sistema inglés es de 0.145 lb./in 2 .

PRESIÓN DE UN FLUIDO

Un sólido es un cuerpo rígido y puede soportar que se le aplique fuerza sin que cambie sensiblemente su forma, un líquido solo puede soportar que se le aplique fuerza en una superficie o frontera cerrada si el fluido no esta restringido en su movimiento, empezará a fluir bajo el efecto del esfuerzo cortante en lugar de deformarse elásticamente.

La fuerza que ejerce un fluido sobre las paredes del recipiente que lo contiene actúa siempre en forma perpendicular a las paredes.

Los líquidos ejercen presión en todas direcciones.

La presión de un líquido a cierta profundidad es la misma en todo el fluido a ésa profundidad y es igual al peso de la columna del fluido a esa altura.

Matemáticamente tenemos que:

W = DV Donde W es el peso de la columna del líquido D es la densidad

de peso o peso específico del mismo y V es el volumen de la columna. Pero

V = Ah, es decir área de la base por la altura, entonces W=DAh y si

P=W/A, o P= DAh/A simplificando A la presión de un líquido quedaría P = Dh o P = gh

En otras palabras, la presión del fluido en cualquier punto es directamente proporcional a la densidad del fluido y a la profundidad bajo la superficie del mismo.

Presión Atmosférica.

Es el peso de la columna de aire al nivel del mar.

P Atm. =1Atm. = 760 mm-Hg = 14.7 lb/in 2 (psi)= 30 in-Hg=2116 ln/ft 2

Presión barométrica.

Es la presión que se mide mediante un barómetro* el cual se puede usar como un altímetro y puede marcar la presión sobre o bajo el nivel del mar.

* Barómetro: Instrumento que sirve para medir la presión atmosférica.

Presión manométrica.

Es la presión que se mide en un recipiente cerrado o tanque.

Presión Absoluta.

P ABS. = P ATM. + P MAN.

Es igual a la suma de la presión atmosférica más la presión manométrica.

APLICACIONES.

Ley de Pascal.

“La presión ejercida sobre la superficie libre de un líquido confinado dentro de

un recipiente se transmite con la misma intensidad a todo el fluido.”

Una de las aplicaciones de esta Ley es en la “Prensa hidráulica” la cual consiste en dos cilindros conectados en su parte inferior de diferentes diámetros y que tienen dos émbolos o pistones y en los cuales si en uno de ellos se aplica una fuerza, la presión de un líquido, generalmente un aceite.

Si llamamos P e a la presión de entrada en el émbolo menor y P s a la presión de salida en el émbolo mayor, entonces la presión de entrada es igual a la presión de salida P e = P s , entonces si P=F/A

F e /A e =F s /A s o sea fuerza de entrada sobre el área de entrada es igual a la fuerza de salida entre el área de salida.

Área de

entrada

martes, 4 de septiembre de 2012

DIAGRAMA DEL CUERPO LIBRE

Un diagrama de cuerpo libre es una representación gráfica utilizada a menudo por físicos e ingenieros para analizar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo libre. El diagrama de cuerpo libre es un elemental caso particular de un diagrama de fuerzas. En español, se utiliza muy a menudo la expresión diagrama de fuerzas como equivalente a diagrama de cuerpo libre, aunque lo correcto sería hablar de diagrama de fuerzas sobre un cuerpo libre o diagrama de fuerzas de sistema aislado. Estos diagramas son una herramienta para descubrir las fuerzas desconocidas que aparecen en las ecuaciones del movimiento del cuerpo. El diagrama facilita la identificación de las fuerzas y momentos que deben tenerse en cuenta para la resolución del problema. También se emplean para el análisis de las fuerzas internas que actúan en estructuras.

Elaboración

Un esquema del cuerpo en cuestión y de las fuerzas que actúan sobre él representadas como vectores. La elección del cuerpo es la primera decisión importante en la solución del problema. Por ejemplo, para encontrar las fuerzas que actúan sobre una bisagra o un alicate,es mejor analizar solo una de las dos partes, en lugar del sistema entero, representando la segunda mitad por las fuerzas que ejerece sobre la primera.

Lo que hay que incluir

El esquema del cuerpo debe llegar solo al nivel de detalle necesario. Un simple esbozo puede ser suficiente y en ocasiones, dependiendo del análisis que se quiera realizar, puede bastar con un punto.
Todos las fuerzas externas se representan mediante vectores etiquetados de forma adecuada. Las flechas indican la dirección y magnitud de las fuerzas y, en la medida de lo posible, deberían situarse en el punto en que se aplican.
Solo se deben incluir las fuerzas que actúan sobre el objeto, ya sean de rozamiento, gravitatorias, normales, de arrastre o de contacto. Cuando se trabaja con un sistema de referencia no inercial, es apropiado incluir fuerzas ficticias como la centrífuga.
Se suele trabajar con el sistema de coordendas más conveniente, para simplificar las ecuaciones. El sentido del eje x puede hacerse coincidir con la dirección de descenso de un plano inclinado, por ejemplo, y así la fuerza de rozamiento sólo tiene componente en esa coordenada, mientras que la normal sigue el eje y. La fuerza gravitatoria, en este caso , tendrá componentes según los dos ejes, mg sen(theta) in el x y mg cos(theta) en el y, donde theta es el ángulo que forma el plano con la superficie horizontal.

Lo que no hay que incluir

Las fuerzas que el cuerpo ejerce sobre otros cuerpos. Por ejemplo, si una pelota permanece en reposo sobre una mesa, la pelota ejerce una fuerza sobre ésta, pero en el diagrama de cuerpo libre de la primera solo hay que incluir la fuerza que la mesa ejerce sobre ella.
También se excluyen las fuerzas internas, las que hacen que el cuerpo sea tratado como un único sólido. Por ejemplo, si se analiza las fuerzas que aparecen en los soportes de una estructura mecánica compleja, como el tablero de un puente, las fuerzas internas de las distintas partes que lo forman no se tienen en cuenta.

Suposiciones

El diagrama de cuerpo libre refleja todas las suposiciones y simplificaciones que se han hecho para analizar el problema. Si el cuerpo en cuestión es un satélite en órbita y lo único que se desea es encontrar su velocidad, un punto puede ser la mejor opción. Los vectores deben colocarse y etiquetarse con cuidado para evitar suposiciones que condicionen el resultado. En el diagrama ejemplo de esta entrada, la situación exacta de la fuerza normal resultante que la rampa ejerce sobre el bloque solo puede encontrarse después de analizar el movimiento o de asumir que se encuentra en equilibrio.

Ejemplo

El diagrama de cuerpo libre del bloque sobre el plano inclinado es una aplicación sencilla de estos principios:

Todos los soportes y estructuras se han sustituido por las fuerzas que ejercen sobre el bloque:

mg: peso del bloque.
N: Fuerza normal del plano sobre el bloque.
F_f: fuerza de rozamiento entre el bloque y el plano.

Los vectores muestran la dirección y el punto de aplicación.
Se acompaña del sistema de referencia que se ha usado para describir los vectores.

EJERCICIO DE POTENCIA MECÁNICA EN REDUCTORES

JÓVENES Y NO TAN JÓVENES, RESOLVER EL SIGUIENTE EJERCICIO DE POTENCIA.

martes, 28 de agosto de 2012

EJERCICIOS PROPUESTOS DE TRANSMISIONES MECÁNICAS

HAY PROPUESTOS DOS EJERCICIOS PARA QUE LOS RESUELVAN. CUALQUIER DUDA ME ESCRIBEN UN COMENTARIO Y YO LES RESPONDERÉ A LA BREVEDAD POSIBLE.

martes, 21 de agosto de 2012

FÓRMULAS DE TORQUE Y POTENCIA

FÓRMULAS DE TORQUE Y POTENCIA MECÁNICA

TORQUE

En mecánica newtoniana, se denomina momento de una fuerza (respecto a un punto dado) a una magnitud (pseudo)vectorial, obtenida como producto vectorial del vector de posición del punto de aplicación de la fuerza con respecto al punto al cual se toma el momento por la fuerza, en ese orden. También se le denomina momento dinámico o sencillamente momento.

Ocasionalmente recibe el nombre de torque a partir del término inglés (torque), derivado a su vez del latín torquere (retorcer). Este término intenta introducirse en la terminología española, bajo las formas de torque o torca, aunque con escasa fortuna, ya que existe la denominación par que es la correcta en español.

τ = F.r

τ: torque

F: fuerza

r: radio (distancia perpendicular desde la fuerza al centro de giro)

POTENCIA MECÁNICA

La potencia mecánica es la potencia transmitida mediante la acción de fuerzas físicas de contacto o elementos mecánicos asociados como palancas, engranajes, etc.

P = 2ΠNτ

P: potencia mecánica

N: frecuencia

: torque

También se tiene que:

P = F.V

F: fuerza

V: velocidad

Para reforzar, por favor hacer click en el siguiente enlace:

http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r27118.PPT

TORQUE Y POTENCIA MECÁNICA

¿Qué es y cómo se interpretan el Torque y la Potencia de un motor?
        Estos conceptos los vemos con frecuencia en las tablas de especificaciones del motor de un automóvil o camión. Pero, ¿qué significan?, ¿Cómo los interpretamos?
        Empecemos con una analogía:
        Al sentirnos enfermos visitamos al médico para consultarle sobre nuestro malestar. Luego de escuchar nuestra narración, nos realiza algunas pruebas sencillas: nos toma el pulso y la presión sanguínea. Estas pruebas le permiten conocer el estado de funcionamiento del corazón. Es decir con qué rapidez y fuerza está trabajando nuestro motor.
        El torque y la potencia son dos indicadores del funcionamiento del motor, nos dicen qué tanta fuerza puede producir y con qué rapidez puede trabajar.
        El torque es la fuerza que producen los cuerpos en rotación, recordemos que el motor produce fuerza en un eje que se encuentra girando. Para medirlo, los ingenieros utilizan un banco ó freno dinamométrico que no es más que una instilación en la que el motor puede girar a toda su capacidad conectado mediante un eje a un freno o balanza que lo frena en forma gradual y mide la fuerza con que se está frenando.

Mientras observa la figura superior, tome un lápiz por los extremos con la punta de los dedos de ambas manos. Con los dedos de la mano izquierda trate de hacerlo girar (motor) y con la mano derecha trate de impedir que gire. Mientras más fuerza haga para impedir que gire, mayor será el esfuerzo que debe hacer para hacerlo que girar.
Se llama Torque máximo a la mayor cantidad de fuerza de giro que puede hacer el motor. Esto sucede a cierto número de revoluciones. Siguiendo el ejemplo de la gráfica en la figura inferior: Un motor con un torque máximo de 125 Nm @ 2500rpm significa que el motor es capaz de producir una fuerza de giro (Técnicamente conocido como “momento” o “par” torsional) de hasta 125 newton metro cuando está acelerado al máximo y gira a 2500 revoluciones por minuto. Recuerde que el motor esta acelerado al máximo (Técnicamente conocido como WOT ó wide open throttle) y no gira a las máximas revoluciones ya que se encuentra frenado por el freno dinamométrico.

Mientras mayor sea el torque máximo de un motor, más fuerte este es. Esto es interesante al momento de comparar motores ya que sin importar el tamaño, el tipo, el sistema de encendido ó el de inyección, un motor tendrá más fuerza que otro cuando su torque máximo sea mayor. La tendencia mundial es lograr motores con el torque más alto posible en todas las revoluciones y principalmente al arrancar. Este efecto se conoce como “motor plano”
¿Qué pasó con la potencia?
La potencia indica la rapidez con que puede trabajar el motor. La potencia máxima es el mayor número obtenido de multiplicar el torque del motor por la velocidad de giro en que lo genera. En el caso de la figura, el motor tiene una potencia máxima de 38 kW @ 3000 rpm.
Potencia = Torque x velocidad angular
Veamos las unidades:
En el sistema internacional el torque se expresa en Nm (Newton metro)
La potencia se expresa en W (Vatios)
Debido a que los motores usados en la industria automotriz, tienen muchos vatios se acostumbra usar el kW (Kilovatio) 1kW = 1000 W
Relaciones útiles:
Potencia (en kW) = (Torque (Nm) . Revoluciones por minuto del motor (rpm)) / 9550
1kW = 1,34 hp (Horsepower ó caballo de potencia)
El PS es el caballo en el sistema métrico. 1kW = 1,359 PS
1Nm = 0,73756 lbf ft
Para concluir, es bueno recordar que:

El torque y la potencia son indicadores de lo que el motor puede hacer
Los valores de torque y potencia que publican los fabricantes cumplen normas internacionales las cuales pueden variar según el origen del motor, y lo que leemos en las especificaciones se trata de los valores máximos.
Se dice caballo de potencia y no “caballo de fuerza”
El torque es la fuerza del motor ya que la entrega en forma de giro
La potencia se obtiene a partir del torque y las revoluciones
Un motor tiene torque máximo y potencia máxima y en los motores de combustión interna estos no se presentan a las mismas revoluciones.

martes, 14 de agosto de 2012

TIPOS DE TRANSMISIONES MECÁNICAS

martes, 7 de agosto de 2012

RELACIÓN DE VELOCIDAD

ES LA PROPORCIÓN DEL NÚMERO DE VUELTAS DE UN ELEMENTO DE MÁQUINA CON RESPECTO A OTRO SIMILAR.

FÓRMULA:

TIPOS DE TRANSMISIONES

Entre las formas más habituales de transmisión están:

Correas, como una correa de distribución
Cadenas
Barras en mecanismos articulados como el cuadrilátero articulado o el mecanismo de biela-manivela.
Cables, la mayoría únicamente funcionan a tracción, aunque hay cables especiales para transmitir otro tipo de esfuerzos como los cables de torsión
Engranajes
Ruedas de fricción, que transmiten movimiento perimetral, como las ruedas de un vehículo.
Discos de fricción, que transmiten movimiento axial, como un disco de embrague.
Chavetas y ejes nervados
Juntas cardán y juntas homocinéticas
Levas

martes, 31 de julio de 2012

MECANISMOS

Se llama mecanismo a un conjunto de sólidos resistentes, móviles unos respecto de otros, unidos entre sí mediante diferentes tipos de uniones, llamadas pares cinemáticos (pernos, uniones de contacto, pasadores, etc.), cuyo propósito es la transmisión de movimientos y fuerzas. También se usa el término mecanismo para designar a las abstracciones teóricas que modelizan el funcionamiento de las máquinas reales, y de su estudio se ocupa la Teoría de mecanismos.

Basándose en principios del álgebra lineal y física, se crean esqueletos vectoriales, con los cuales se forman sistemas de ecuaciones. A diferencia de un problema de cinemática o dinámica básico, un mecanismo no se considera como una masa puntual y, debido a que los elementos que conforman a un mecanismo presentan combinaciones de movimientos relativos de rotación y traslación, es necesario tomar en cuenta conceptos como centro de gravedad, momento de inercia, velocidad angular, etc.

TRANSMISIONES

Se denomina transmisión mecánica a un mecanismo encargado de transmitir potencia entre dos o más elementos dentro de una máquina. Son parte fundamental de los elementos u órganos de una máquina, muchas veces clasificado como uno de los dos subgrupos fundamentales de éstos elementos de transmisión y elementos de sujeción.

Una transmisión mecánica es una forma de intercambiar energía mecánica distinta a las transmisiones neumáticas o hidráulicas, ya que para ejercer su función emplea el movimiento de cuerpos sólidos, como lo son los engranajes y las correas de transmisión.

Típicamente, la transmisión cambia la velocidad de rotación de un eje de entrada, lo que resulta en una velocidad de salida diferente. En la vida diaria se asocian habitualmente las transmisiones con los automóviles. Sin embargo, las transmisiones se emplean en una gran variedad de aplicaciones, algunas de ellas estacionarias. Las transmisiones primitivas comprenden, por ejemplo, reductores y engranajes en ángulo recto en molinos de viento o agua y máquinas de vapor, especialmente para tareas de bombeo, molienda o elevación (norias).

En general, las transmisiones reducen una rotación inadecuada, de alta velocidad y bajo par motor, del eje de salida del impulsor primario a una velocidad más baja con par de giro más alto, o a la inversa. Muchos sistemas, como las transmisiones empleadas en los automóviles, incluyen la capacidad de seleccionar alguna de varias relaciones diferentes. En estos casos, la mayoría de las relaciones (llamadas usualmente "marchas" o "cambios") se emplean para reducir la velocidad de salida del motor e incrementar el par de giro; sin embargo, las relaciones más altas pueden ser sobremarchas que aumentan la velocidad de salida.

martes, 24 de julio de 2012

ELEMENTOS DE MÁQUINAS

Elementos de máquinas

Diferentes elementos de una máquina (cronógrafo de aviación de Rusia).

Una máquina esta compuesta por una serie de elementos más simples que la constituyen, pudiendo definir como elementos de máquinas todas aquellas piezas o elementos más sencillos que correctamente ensamblados constituyen una máquina completa y en funcionamiento.
Estos elementos de máquinas, no tienen que ser necesariamente sencillos, pero si ser reconocibles como elemento individual, fuera de la máquina de la que forma parte, o de las máquinas de las que puede formar parte.
Tipos de elementos para máquinas
Según la tecnología a la que cada uno de estos elementos puede formar parte, podemos distinguir:

Mecánicos

Mecánicos: son las piezas de metal o de otros materiales que constituyen los elementos de la máquina. Podemos diferenciar:

Engranajes constituyentes de la caja de cambios de un motor (máquina).

Elementos mecánicos constitutivos

Son los elementos que forman la estructura y forma de la máquina:

Elementos de unión

Son los que unen los distintos elementos de la máquina:

Elementos de unión fija: dan lugar a una unión que una vez realizada no puede ser deshecha:

Elementos de unión desmontable, (dan lugar a uniones que pueden ser desmontadas en un momento dado):

Elementos de transmisión

Son los que trasmiten el movimiento y lo regulan o modifican según el caso:

Elementos de pivotar y rodadura

Son los elementos que permiten el giro, deslizamiento o pivotaje de los elementos móviles, sin demasiado desgaste ni producción de calor:

Cojinete
Rodamiento
Resbaladera
Quicionera

Neumáticos

Los elementos de Neumática que forman parte de las máquinas son los que funcionan o hacen funcionar o regulan por aire comprimido:

Válvulas
Cilindros neumáticos
Turbinas neumáticas

Hidráulicos

Los elementos de Hidráulica en máquinas son los que funcionan hacen funcionar o regulas la circulación de un líquido, normalmente aceite hidráulico.

Válvulas hidráulicas
Cilindro hidráulico

martes, 17 de julio de 2012

SUMA DE VECTORES. MÉTODO DEL PARALELOGRAMO.

Componentes de un vector

Un vector en el espacio se puede expresar como una combinación lineal de tres vectores unitarios o versores perpendiculares entre sí que constituyen una base vectorial.
En coordenadas cartesianas, los vectores unitarios se representan por $\mathbf{i} \,$ , $\mathbf{j}$ , $\mathbf{k}$ , paralelos a los ejes de coordenadas x, y, z positivos. Las componentes del vector en una base vectorial predeterminada pueden escribirse entre paréntesis y separadas con comas:

$\mathbf{a} = (a_x,a_y,a_z)$

o expresarse como una combinación de los vectores unitarios definidos en la base vectorial. Así, en un sistema de coordenadas cartesiano, será

$\mathbf{a} = a_x \, \mathbf{i}+ a_y \, \mathbf{j} + a_z \, \mathbf{k}$

Estas representaciones son equivalentes entre sí, y los valores a_x, a_y, a_z, son las componentes de un vector que, salvo que se indique lo contrario, son números reales.
Una representación conveniente de las magnitudes vectoriales es mediante un vector columna o un vector fila, particularmente cuando están implicadas operaciones matrices (tales como el cambio de base), del modo siguiente:

$\mathbf{a} = \begin{bmatrix} a_x\\ a_y\\ a_z\\ \end{bmatrix} \qquad \mathbf{a} = [ a_x\ a_y\ a_z ]$

Con esta notación, los vectores cartesianos quedan expresados en la forma:

${\mathbf i} = [1\ 0\ 0],\ {\mathbf j} = [0\ 1\ 0],\ {\mathbf k} = [0\ 0\ 1]$

Operaciones con vectores

Suma de vectores

Para sumar dos vectores libres (vector y vector) se escogen como representantes dos vectores tales que el extremo final de uno coincida con el extremo origen del otro vector.

Método del triángulo.

Método del paralelogramo

Este método permite solamente sumar vectores de a pares. Consiste en disponer gráficamente los dos vectores de manera que los orígenes de ambos coincidan en un punto, trazando rectas paralelas a cada uno de los vectores, en el extremo del otro y de igual longitud, formando así un paralelogramo (ver gráfico a la derecha). El resultado de la suma es la diagonal de dicho paralelogramo que parte del origen común de ambos vectores.

Método del triángulo

Consiste en disponer gráficamente un vector a continuación de otro; es decir, el origen de cada uno de los vectores se lleva sobre el extremo del otro. El vector resultante es aquél que nace en el origen del primer vector y termina en el extremo del último.

Método analítico para la suma y diferencia de vectores

Dados dos vectores libres,

$\mathbf{a} = (a_x \mathbf{i} + a_y \mathbf{j} + a_z \mathbf{k})$

$\mathbf{b} = (b_x \mathbf{i} + b_y \mathbf{j} + b_z \mathbf{k})$

El resultado de su suma o de su diferencia se expresa en la forma

$\mathbf{a} \pm \mathbf{b} = (a_x \mathbf{i} +a_y \mathbf{j} +a_z \mathbf{k}) \pm (b_x \mathbf{i} +b_y \mathbf{j} +b_z \mathbf{k})$

y ordenando las componentes,

$\mathbf{a} \pm \mathbf{b} = (a_x \pm b_x) \mathbf{i} + (a_y \pm b_y) \mathbf{j} + (a_z \pm b_z)\mathbf{k}$

Con la notación matricial sería

$\mathbf{a} \pm \mathbf{b} = \begin{bmatrix} a_x\\ a_y\\ a_z\\\end{bmatrix} \pm \begin{bmatrix} b_x\\ b_y\\ b_z\\\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_x\pm b_x\\ a_y\pm b_y\\ a_z\pm bz\\\end{bmatrix}$

Conocidos los módulos de dos vectores dados, $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$ , así como el ángulo

θ

que forman entre sí, el módulo de $\mathbf{a} \pm \mathbf{b}$ es:

$|\mathbf{a} \pm \mathbf{b}| = \sqrt{a^2 + b^2 - 2ab \cos \theta}$

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